ریاضی
مقدمهاي بر آموزش رياضي در دورهي ابتدايي
در حقيقت هر فعاليت آموزشي كه در كلاس صورت ميگيرد نحوهي نگرش معلم را در مورد يادگيري بيان ميكند. باورهاي معلمان چه درست و چه نادرست بر آنچه كه در كلاس درس اتفاق ميافتد تأثير بسزايي دارد. بنابراين مطالعه و درك هوشمندانهاي از چگونگي يادگيري رياضيات توسط كودكان براي هر معلم ابتدايي در اولويت قرار دارد.
كودكان چگونه رياضيات را ميآموزند؟
در اوايل قرن بيستم جان ديويي مدعي شد كه يادگيري رياضيات از طريق تمرين بوجود ميآيد كه تا آن زمان چندان مورد توجه نبود و اين تمرين با ورود مستمر به تجارب جهاني واقعي شروع شده و كودكان بايد آنقدر با اشياء و مدلهاي واقعي گوناگون خو بگيرند تا بتوانند خواص بخصوص و كليدي هر مفهوم را درك كنند و در نهايت به مرحلهي مجردسازي مفهوم مورد نظر برسند و موارد انتزاعي را فرمولبندي كنند و به مطالب عموميت بدهند.
علاوه بر تمرين متوالي، رياضيات از طريق نگاه كردن، گوش دادن، پيگيري كردن، خواندن، راهنماييها، تقليد كردن، آزمايش كردن، استفاده از مدل و راهنمايي معلم نيز قابل آموزش است.
يادگيري رياضيات به خصوصيات فردي يادگيرنده مانند تجارب قبلي، بلوغ فكري و انگيزش نيز بستگي دارد. به اين ترتيب هيچ نظريهي جامع يادگيري را نميتوان بدون ابهام و بطور مستقيم براي هر دانشآموزي در هر سطح به شكل رضايتبخشي به كار برد. ضمن اينكه نبايد از ايجاد شرايط مناسب تدريس هم غافل بود.
ـ كودكان براي يادگيري رياضيات بايد مراحلي را طي نمايند تا از مرحلهي واقعيت (عيني) به مرحلهي انتزاع (نمادين) برسند. نقش معلمان برقراري ارتباط ميان تجارب واقعي و مفاهيم رياضي است و ارتباطهاي ايجاد شده باعث بوجود آوردن پلهاي دو سويهي ضروري (دانش، مهارت و حل مسائل) در يادگيري ميشوند.
هدف از ساختن پلهاي يادگيري عبارتند از:
1) ايجاد پيوند بين جهان واقعي و رياضيات و كتابهاي درسي.
2) ايجاد پيوند ميان مدلهاي آموزشي ارتباطي گوناگون و نمادهاي رياضي جهت درك مفاهيم بطور زنده و واقعي.
3) كاهش فاصلهي بين دنياي واقعي و انتزاعي و يادگيري عميقتر و معنيدار.
هنگامي كه با استفاده از مواد واقعي ارتباط ميان جهان واقعي و جهان انتزاعي به خوبي برقرار شود كودك با اندكي راهنمايي حتي بدون راهنمايي معلم به سطح نمادسازي ارتقاء مييابد. كودكاني كه به اندازهي كافي با مواد واقعي كار نكنند و خيلي سريع به استفاده از نمادها كشانده شوند (مانند طرح زير) به درون «گذرگاه اضطراب» سقوط ميكنند و كساني كه در اين دام گرفتار شوند به سختي ميتوانند از آن خارج شوند و معمولاً ميتوانند مدعي شوند با آنها مانند قرباني رفتار شده است. و بچههاي كوچكتر آسيبپذيرتند. و حتي تا قبل از دوره راهنمايي قادر به درك برخي از نمادها نيستند.
حل مسائل
مفاهيم رياضي نمادين (انتزاعي) دانش واقعي (عيني) كاربرد در دنياي واقعي
مهارت
گذرگاه اضطراب
|
تنفر از رياضي |
پايين بودن انگيزش |
نداشتن اعتماد به نفس |
مشكلات رفتاري در كلاس |
بيعلاقه بودن |
ترديد |
نفهميدن |
نمره كم در رياضي |
وظيفه معلمان ايجاد پلهاي پيوستهاي است تا از اين طريق شرايط مناسبي براي همهي سطوح و همه گونه يادگيري رياضيات فراهم شود. از طرفي معلم وظيفه دارد به كودكان براي عبور از پلها كمك كند.
(هـ) (د) (ج) (ب) (الف)
نمادين عيني
الف) به عنوان مثال 7 مهره را در مربع قرار دهيد.
ج) اين مرحله مانند مرحلهي قبل است فقط از يك تلق نيمهشفاف روي مهرهةاي مشخص شده نصب ميكنيم بطوريكه مهرهها قابل ديدن باشند و اثر آن تا مرحلهي بعدي باقي بماند.
د) در اين مرحله از يك تلق كدر كه مهرهها قابل رؤيت نباشد استفاده ميكنيم كودك بايد مهرههاي ناپديد شده را محاسبه كند.
هـ) اين مرحله يك مرحله بدون مقدمه است و كاملاً نمادين و انتزاعي بوده و چنانچه كودك از نحوهي پيدايش آن آگاهي داشته باشد ميتواند از عهده آن برآيد.
همانطور كه در مثال بالا ديديم مراحل گوناگوني را براي عمل پل زدن طي نموديم تا به مرحلهي انتزاعي و نمادين رسيديم البته براي درك بهتر مفهوم مثال بالا نياز به نمونههاي ديگري هم داريم.
همانطور كه ملاحظه شد در سه مرحلهي آخر ارتباط بين مرحله عيني و نمادين از طريق يك پل دوسويه انجام گرفت بنابراين كودكان بايد بتوانند از هر دو سوي پل عبور كنند.
وقتي كه مسير حل كردن مسأله روشن نيست وجود راه برگشت از اهميت فوقالعادهاي برخوردار ميشود بنابراين ميتوان نتيجه گرفت كه مسير بازگشت يكي از قدرتمندترين و مفيدترين ابزارها در فرآيند حل مسأله است.
اگرمثال 97= c + 64 را در نظر بگيريم چون جواب روشن نيست پس بايد تفكر زيادي نمود و با صورتبندي مسأله از طريق يك مدل ذهني يا فيزيكي (عيني) اقدام به حل نمود كه نيازمند درك درست مراحلي عيني و مرور ذهني آنها است. بنابراين برگشتپذيري صورت ميگيرد و نشانگر توانمندي پل دوسويه نسبت به پل يك سويه است.
نظريات يادگيري و رياضيات
دو ديدگاه عمده در زمينهي يادگيري وجود دارد كه عبارتند از رفتارگرايي و تحولگرايي (شناختگرايي) هر كدام از نظريات راهحلهايي در زمينهي يادگيري در آموزش در اختيار ميگذارند كه بايد از آنها در تدريس و ساخت پلهاي ارتباطي بين واقعيت و نماد استفاده كرد.
با وجود اختلافات موجود بين نظريات يادگيري دو شباهت اساسي قابل توجه در آنها وجود دارد كه در آموزش رياضي نيز بسيار مؤثرند.
1) همگي اتفاق نظر دارند كه يادگيري بايد از واقعيت (عينيت) شروع شود و به سوي انتزاع پيش برود (البته واقعيت مرحلهاي نسبي محسوب ميشود.)
2) چندين مرحلهي مشخص و قابل شناسايي در زمينهي تفكر وجود دارد كه كودكان طي مراحل رشد و بلوغ از آن عبور ميكنند و گذر از اين مراحل از كودكي آغاز شده و تا دورهي نوجواني ادامه دارد. بنابراين تفكر رياضيات ماهيت بسيار پيچيدهاي دارد و يك مفهوم يا تفكر جديد اغلب به آموختههاي قبلي بستگي دارد.
اصول كاربردي مربوط به چگونگي يادگيري رياضيات در كودكان:
1) يادگيري رياضي با معني باشد.
به يادگيري كه بدور از قاعدهگويي بوده و چرايي هر قاعده قابل درك باشد دانشآموز مفاهيم رياضي را نظام يافته و حاوي ترتيب و روابط بيشماري ميبيند كه در بسياري از شرايط در حل مسأله كاربرد دارند در اين يادگيري رياضيات عامل تكاپوي هوش است و سبب ارتباط متقابل سطوح تفكر يعني از عيني (واقعي) به ذهني (نمادين) و برعكس ميشود.
2) يادگيري فرآيندي از رشد است.
يادگيري مؤثر رياضي به سرعت حاصل نميشود و نيازمند زمان و برنامهريزي است. به عبارتي براي استخراج مفاهيم رياضي ازتجارب زندگي واقعي و مواد خام عيني و سپس گذر از تجريد و تفكر نمادين به زمان نياز داريم.
3) سازماندهي برنامهي درسي در فرآيند يادگيري تأثير دارد.
براي اينكه رياضيات قابل درك باشد بايد سازماندهي و مرتب شود به عنوان مثال غيرممكن است عمل تقسيم را بدون فراگيري ضرب انجام داد اين سازماندهي به صورت يك مسير مارپيچ طولاني است كه ممكن است طي چند سال موجب عميق گشتن مفاهيم در ذهن گردد.
مثلاً: آموزش مفهوم زاويه در ابتدايي شروع شده و طي چندين سال آموخته ميشود كه ابتدا به صورت عيني در جهان واقعي بعد نامگذاري زاويه بعد مقايسهي زاويه بعد اندازهگيري زاويهها و بعد زاويههاي خاص و … بنابراين لازم است معلم هر پايه از آموختههاي قبلي و بعدي دانشآموزان آگاهي داشته باشد.
4) انگيزش در يادگيري رياضيات تأثير دارد و برعكس.
بايد جرقهي علاقه و انگيزه را در ذهن شاگرد ايجاد كرد تا به يادگيري رياضي علاقمند شود و بعد احساس موفقيت و اعتماد به نفس نمايد و همين امر محرك يادگيريهاي بعدي او شود البته هيبت و اقتدار علمي و شخصيتي معلمان هم در انگيزش دانشآموزان تأثير دارد.
5) هدف بايد در كلاس درس براي شاگرد معلوم گردد.
معلم بايد در ابتداي درس انتظار نهايي خود را مشخص كند تا شاگرد بداند كه به دنبال چيست و عملكرد خود را در راستاي هدف سازماندهي كند و به قول اين ضربالمثل: «آنكه نميداند به كجا ميرود از كنار مقصد واقعي بياعتنا ميگذرد.»
6) دانشآموز عنصر فعال در يادگيري است.
دانشآموز در كشاكش مفاهيم رياضي بوده و با اين عمل باعث انگيزش فراگيري، عميق شدن بصيرت و درك قوي او ميشود. درگير شدن فعال ممكن است در چهارچوب فعاليت فيزيكي حاصل شود كه درگيري ذهني را هم به همراه دارد.
7) تغيير گفتاري كامل كنندهي يادگيري رياضيات است.
همانطور كه سخن گفتن مقدمهي نوشتن است زبان شفاهي رياضي هم بر زبان نمادين رياضي تقدم دارد. به عنوان مثال در عبارت A
8) مشاهدهي يك موضوع از زواياي مختلف به يادگيري كمك ميكند.
تفكرات رياضي في نفسه بسيار انتزاعي هستند بنابراين براي تجسم عيني بخشيدن به اين تفكرات بايد در دورهي ابتدايي از مواد آموزشي دستساز و مدلها كمك گرفت البته مدلها به خودي خود رياضيات نيست بلكه يك مدل خوب مفاهيم رياضيات را به تصور درميآورد اما آنچه مهم است اين است كه يك مدل ممكن است مفاهيم زيادي را متصور كند كه بيارتباط با مفهوم موردنظر ماست مثلا اگر براي آموزش مفهوم دايره از يك بشقاب استفاده كنيم، اين بشقاب مفاهيمي مانند: محيط، قطر، مساحت، لبهها و … را در ذهن مجسم ميكند يا ممكن است ذهن را متوجه متغيرهاي بيارتباطي مانند: طرح روي بشقاب، لبپريدگي، عمق و … بكند بنابراين لازم است در آموزش مفاهيم دايره از مدلهاي مختلف مانند: حلقه، سكه، چرخ و … هم استفاده شود تا توجه شاگرد معطوف متغير بيارتباط نشود و يا با نشان دادن مفهوم مورد نظر به كمك گچ يا ماژيك يا با دست معني نمائيم يك تجسم چندجانبه بوجود آورديم كه كمك زيادي به درك انتزاعي (گردي بشقاب) ميكند بنمائيم.
و بهتر است با مدلهاي متنوع با توجه به شرايط محتوا و دانشآموز كار كنيم تا مفاهيم با عمق بيشتر پرورش يابند.
9) اصل تغييرپذيري در رياضيات به يادگيري كمك ميكند.
به استفاده ادراكي از مدلهاي متعدد مانند آنچه براي دايرهها بيان شده تجسم بخشي چندگانه يا چندجانبه گويند كه اهميت آن مربوط به تجربه كردن يك مفهوم رياضي در موقعيتي فيزيكي است ولي همانطور كه قبلاً گفتيم در هر عمل تجسم بخشي صفات و مشخصات فراوان ظاهر ميشود بنابراين با توجه به اصل تغييرپذيري ما ميتوانيم از درون هر عمل تجسم بخشي مفروض، فقط طرح يا نقشهي خاصي را موردتوجه قرار دهيم. به عنوان مثال براي آموزش مفهوم دايره اگر فقط از نمونههاي تقريباً يكساني از بشقاب استفاده كنيم كودك نميتواند مفهوم كلي دايره را درك كند بنابراين براي رفع اين نقيصه ما به كمك اصل تغييرپذير با شرط ثابت نگه داشتن حالت گردي مدلها، از اقسام اجسام دايرهاي مانند چرخ، حلقه، لاستيك، النگو، تراش گرد و … استفاده كرده و حداكثر تعميم مفهوم رياضي (دايره) را ميبريم. به عبارتي شكل مدل بيتغيير ميماند ولي مثال مرتباً تغيير ميكند. و يادگيرينده توجه خود را به صفات عمده و پرمعني رياضي معطوف ميدارد. اگردر بين مثالها از چيزهايي كه معطوف مدل مورد نظر نيستند هم بطور همزمان استفاده كنيم سطح يادگيري خيلي بالاتر ميرود مثلاً اگر در بين اجسام دايرهاي يك سيني بيضي يا يك حلقهي ناقص هم كه معرف مدل نيست و به نمونه غيرمثالي معروف است استفاده كنيم اثر يادگيري بسيار بالاتر از وقتي است كه فقط از مثال مرتبط استفاده ميكنيم.
10) فراموش كردن يك جنبهي طبيعي رياضي است ولي حفظ كردن در يادگيري مؤثر است.
دانش واقعي رياضي وقتي بطور مرتب مورد استفاده قرار نگيرد و كاربرد واقعي نداشته باشد فراموش ميشود. بنابراين كلاسهاي درس و آزمونها اغلب سطوح فراري از مهارتها و دانشهاي رياضيات را ارائه ميدهند اما منظور از حفظ كردن در رياضيات به آموختههايي اتلاق ميشود كه در مواقع مورد پرسش واقع شدن، بتوان از آنها استفاده كرد.
در رياضيات مهارت حل مسأله به علت مرتبط بودن به تعدادي از فرآيندهاي پيچيدهي سطح بالاي تفكر از پايداري و ماندگاري بيشتري برخوردار است. چنين فرآيندهايي براي رشد به زمان نياز دارند و بعد از استواري براي زمان طولاني در ذهن ميمانند و در طول زمان توسعه مييابند.
مهارت حفظ كردن را ميتوان با روشهاي زير ارتقاء داد:
1) استفاده از روش يادگيري با معني در هر يك از مراحل يادگيري رياضي (دانش، مهارت و حل مسأله)
2) مرور روزانه، هفتگي، ماهانه و … درسها و حتي قبل از شروع درس جديد
بايد پيش نيازها مطرح شود و در پايان درس دوره كردن كوتاه مدت روزانه صورت گيرد تا سطح يادگيري ارتقاء يابد.
3) دوره كردن مكرر هفتگي يا ماهانهي مطالب كليدي كميت مطالب حفظ شده را افزايش داده و از خطر زنگزدگي اطلاعات ميكاهد و مطالب را همچنان تازه نگه ميدارد و قدرت حفظ كردن را افزايش ميدهد.
زاويه (گوشه)
تعدادي از تعاريف زاويه:
1) فضاي گشايش شده بين دو نيم خط با مبدأ مشترك را زاويه گويند.
2) مجموعه نقاطي از صفحه را كه بين دو نيمخط با مبدأ مشترك واقع است.
ـ هر زاويه داراي يك رأس و دو ضلع است. رأس
ضلع
ـ در كلاس چهارم مقايسه دو زاويه از راه انطباق گفته شده ضمناً با مفهوم زاويه، ضلع زاويه، رأس، اقسام زاويه در مقايسه با زاويه راست آشنا شدهاند.
موارد كاربرد نقاله:
1) اندازهگيري زاويه
2) رسم زاويهاي كه اندازهي آن معلوم است.
3) رسم مثلث با معلوم بودن دو زاويه و ضلع بين آنها
4) رسم مثلث با معلوم بودن اندازههاي يك زاويه و دو ضلع آن
5) رسم نيمساز
برخي از چالشهاي مربوط به زاويه
1) تصور نادرست درباره ارتباط اندازهي اضلاع زاويه با اندازهي زاويه
2) مشكل در اندازهگيري زاويه با استفاده از نقاله در جهتهاي مختلف و خواندن اعداد مربوط به درجه كه از دو طرف نوشته شده است.
راهكارهاي پيشنهادي
1) زاويههايي مساوي با اضلاع نامساوي ساخته و در اختيار دانشآموزان قرار ميگيرد و از آنها خواسته ميشود زاويهي آنها را اندازه بگيرند يا بر هم انطباق دهند و مقايسه كنند سپس ميگوئيم چون زاويه از دو نيمخط با مبدأ مشترك درست شده بنابراين ما ميتوانيم امتداد اضلاع را تصور كنيم يا در موارد اين كار انجام دهيم.
2) بعد از انجام فعاليتهاي مربوط به مقايسهي دو زاويه با استفاده از پرگار يا نيمدايرهي مقوايي به عنوان پيشزمينه يك نقاله بزرگ با گچ و نخ در حياط مدرسه طراحي كرده و آنرا 10 درجه، 10 درجه از دو طرف با دو رنگ متفاوت درج ميكنيم از بچهها خواسته يكبار از يك طرف از روي نقطهي صفر به اندازههاي موردنظر حركت كنند و بار ديگر از جهت ديگر نقاله، سپس از سه دانشآموز خواسته مدل زاويههاي موردنظر را روي طرح بطوري كه يكي در مركز و ديگري در نقطهي صفر و سومي در روي نقطهي مربوط به زاويهي موردنظر ما بايستد، نشان دهند و در مرحلهي بعد ميتوانيم زاويه را به كمك يك رشته بلند نخ و سه نفر گفته شده از هر طرف نقاله كه مورد نظر ماست، بسازند. (البته ميشود نخ قسمت مربوط به مركز نقاله (رأس زاويه) را ثابت كرد.)
و در آخر ميتوانيم اين كار را به صورت يك مسابقهي مفرح سرعتي و دقتي انجام دهيم. بعد از مهارت در اندازهگيري در مقياس بزرگ نقاله به سراغ تمرينهاي كتاب ميرويم و با اندازهگيريهاي دقيقتر كار را ادامه ميدهيم.