از زیبایی ها و شگفتی های ریاضی سخن گفتن آسان است اما درک آن متاسفانه برای همه کس آسان نیست. زیبایی های صوری را همه می بینند و همه
هم تقریبا" بیک اندازه از آنها لذت می برند. اگر منظره ای یا صورتی یا تابلویی در نظر شما زیبا باشد، همان منظره، صورت یا تابلو در نظر دیگران هم کم و بیش به همان اندازه زیبا خواهد بود و دیگران هم از آنها تقریبا" به همان اندازه که شما لذت میبرید، لذت خواهند برد. اما زیباییهای ذهنی و لذت بردن از آنها مستلزم داشتن زمینه ی ذهنی مناسب است. بعنوان مثال، عرفان و فلسفه عرصه هایی از اندیشه بشری هستند که کاملا" ذهنی اند. اگر کسی بخواهد این رشته ها را درک کند و آنچه که فلاسفه و عرفا و رهروان این طرق زیبایی نامیده اند را ببیند و احساس کند راهی ندارد جز آنکه الفباء این عرصه های تفکر را بیاموزد و از "هفت شهر" آنها بگذرد و مراحل و مراتب آنها را طی کند تا زمینه های لازم را برای ذهن خود بمنظور درک آن زیبایی ها فراهم نماید و از این راه به شناخت و لذت برسد.
ریاضییات نیز که محصول مستقیم نبوغ بشر است عرصه ای است ذهنی و از قاعده فوق مستثنا نیست. برای آنکه بتوان زیبایی های آنرا دید و شگفتی ها و عظمت قدرت آنرا در تشخیص و کشف حقیقت و حل مسائل درک کرد باید الفباء آنرا آموخت، اصول آنرا فرا گرفت و با تمرین و ممارست، روزگاری با آنها مانوس بود تا از این راه به درجاتی از شناخت رسید و لذت همنشینی با آنرا احساس کرد. ریاضیات البته عرصه های عملی هم فراوان دارد که مشاهده آثار آنها رضایت مندی و لذتی از نوع دیگر را در انسان ایجاد میکند.
در ریاضیات شش عدد وجود دارند که از بقیه ی اعداد متمایزند زیرا آنها ویژگی هایی دارند که سایر اعداد ندارند. این اعداد عبارتند از : صفر، یک، پی(نسبت محیط دایره به قطر آن)، e (عدد اویلر)،i (مبنای اعداد مختلط) و فای(نسبت طلایی). اویلر ریاضیدان سویسی قرن هجدهم رابطه ای بین پنج تا از این اعداد را بصورت این معادله کشف کرد:
اگر این معادله را در یک قاب عکس قرار داده و روی دیوار و در کنار تابلوی مونالیزا نصب کنید، در چشم یک ریاضیدان نه تنها هیچ از مونالیزا کم ندارد بلکه میتواند بسیار شگفت انگیز تر هم باشد. مونالیزا را تقریبا" هر کسی به اندازه فهمی که از هنر نقاشی دارد درک میکند و بدیهی است هر چه این فهم عمیق تر و فنی تر باشد، درک هم عمیق تر خواهد بود. اما زیبایی و شگفتی این معادله را تنها کسی میفهمد که با اعداد الفت دراز داشته و بویژه این پنج عدد را شناخته و چگونگی خلقت آنها را فهمیده باشد و بداند که هر چند آنها به ظاهر نزدیک هم اند اما ماهیت آنها به اندازه کهکشانها از یکدیگر دور است ولی وقتی استادانه در کنار هم قرار میگیرند چنان با شوق با یکدیگر می جوشند که تعادلی متقارن و بس زیبا و بدیع بوجود می اورند. تازه این معادله خود حالت خاصی از یک معادله کلی تر، زیبا تر و شگفت انگیز تری است که پای دو نسبت مثلثاتی اصلی را هم به میان میکشد :
***************
از این "تابلو ها" که هر کدام حاصل نبوغ یک ریاضیدان است در دنیای بزرگ ریاضیات فراوان یافت میشود. تقریبا" دو هزار سال پیش "هارون" ریاضیدان ، مهندس و مساح رمین های زراعتی در مصر باستان فرمولی کشف کرد که مساحت مثلث را از روی طولهای سه ضلع آن به دست میدهد. اگر طول اضلاع مثلثی را به a و b و c و نصف محیط آنرا به p نشان دهیم، آنگاه مساحت مثلث، A ، از روی فرمول هارون محاسبه میشود :
تقریبا" ششصد سال پس از هارون مصری، براهماگوپتای هندی فرمول مشابهی برای چهار ضلعی محاطی کشف کرد. اگر طول اضلاع یک چهار ضلعی محاطی را به a ، b ، c و d و نصف محیط آنرا به p نشان دهیم، آنگاه مساحت چهار ضلعی، A ، از روی فرمول براهماگوپتا محاسبه میشود:
آیا این فرمولها را با اینهمه سادگی شکل و تقارن جز زیبا چیز دیگری میتوان نامید؟
*************
عدد پی بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟ در زیر، عدد پی را تا 360 رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید :
حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:
نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود
یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.
***************
در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را PL بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :
حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :
Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از 2 گرفته تا PL ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس Q خود "اول" است و بدیهی است که از PL هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب PL در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس PL بزرگترین عدد اول نیست و Q از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.
شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.
"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر 1.618 و تحقیقا" برابر
که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟
مربع ABCD را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O وسط ضلع CB است. به مرکز این نقطه و به شعاع OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD یک "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر 1.618 میباشد.
گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به 1.6 بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به 1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت 27 cm به 19 cm است که برابر 1.42 میباشد)
و نیز وقتیکه مولکول DNA را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.
حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.
رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181
اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را 81 انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :
81, 161, 242, 403, 645, 1048, …
در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.
حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :
این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :
آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :
"جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.
آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟
********************
از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با 1000 متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش 112 متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش 144 متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر 1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر 4551 کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا" 46 ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش 5135 کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن 51 ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.
در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :
فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن 81 سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن 27 سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از 12 قطعه خط است هر یک به طول 27 سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد 9 سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره 18 پر درست شود.
اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.
با استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود( نگاه کنید به مسئله شماره )
اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند. صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.
اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.
در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.
***********************
در سال 1949 یک ریاضیدان هندی به نام کاپرکار( Kaprekar, 1905-1988 )ویژگی جالبی را در اعداد کشف کرد و در مقاله ای در همان سال منتشر نمود. او کشف خود را اینطور توضیح داد : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید( مثلن 8952 ). ارقام آنرا یکبار بصورت نزولی مرتب کنید( 9852 )و یکبار هم بصورت صعودی( 2589 )تا "بزرگترین" و "کوچگترین" عدد با همان ارقام حاصل آید. تفاضل این دو عدد را بدست آورید( 7263 )و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید : یعنی ارقام آنرا بصورت نزولی و بعد بصورت صعودی مرتب کنید( 7632 و 2367 )و تفاضل آنها را بدست آورید و اینکار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید. با کمال تعجب خاهید دید که همیشه به یک عدد ثابت خواهید رسید. اگر عدد انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن میرسید 6174 خواهد بود. این عدد را "ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها" میگویند. این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید که برای هر عدد n- رقمی یک " ثابت کاپرکار" مخصوصی وجود دارد که تغییر ناپذیر است.
از آن تاریخ تا کنون و بخصوص در سالهای اخیر و با استفاده از کامپیوتر تحقیقات زیادی روی این اکتشاف شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا" معلوم شده که دقیقا" 63 عدد سه رقمی هستند ( مثل 212 و 787 و غیره )که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی میشوند در حالیکه سایر اعداد سه رقمی ظرف حد اکثر شش چرخه به عدد 495 ( ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها )میرسند. همچنین معلوم شده است که دقیقا" 77 عدد چهار رقمی هستند( مثل 4544 و 5556 وغیره )که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی میشوند در حالیکه بقیه ی اعداد چهار رقمی ظرف حد اکثر هشت چرخه به عدد 6174 ( ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها )میرسند.
براستی چرا این اتفاقات میافتند و چگونه میتوان اینهمه نظم و آنهمه بی نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده است؟
همانگونه که قبلا" گفته شد شگفتی ها و زیبایی های ریاضییات پایانی ندارند. تحقیقات ریاضیدانان و جستجوگران دایمن پرده از روی آنها برمیدارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار میکند، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین بر انگیز بوده اند. آنچه در این مقاله در مورد زیبایی ها و شگفتی های ریاضییات گفته شد چون قطره ای بود از دریا. امیدوارم در طول مطالعه ی خود از ریاضییات، با چشم زیبا بین، و با تعمق در جزئیات هر مطلبی که مطالعه میکنید و بخصوص با توجه عمیق به الگوهای ریاضی که سر شار از نظم( و گاهی بی نظمی )هستند بتوانید زیبایی ها و شگفتی های بیشتری ببینید و شاید خود روزی در میان آنهمه بی نظمی، نظمی کشف کنید و یک شگفتی جدید خلق نمایید. پایان
و 
سانتي متر مربع مي شود . به نظر مي رسد به گونه ي سحر آميز از هيچ توانستيم 1سانتي متر مربع را به وجود بياوريم.
